一、圆及圆的有关概念

1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；

2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧；

3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦；

4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；

5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；

6.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；

7.圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；

二、圆的有关性质：

1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；

2.垂径定理及其推论：

（1）垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；

（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

3.圆心角、弧、弦之间的关系

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。

4.圆周角与圆心角的关系

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

（2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；

5.圆内接四边形对角互补。

三、点与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系

如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．

(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．

2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

四、直线与圆的位置关系

1、(1)直线与圆的位置关系有关概念

①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

②切线与切点：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．

(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；

(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；

(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．

2、切线

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．

(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．

(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．

五、三角形的外接圆和内切圆

1、三角形的外接圆

（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

（2）三角形外心的性质：

①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．

2、三角形的内切圆与三角形的内心

①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．

②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．

三角形的外心与内心的区别：

名称

名称

确定方法

确定方法

性质

性质

外心 (三角形外接圆的圆心)

外心

(三角形外接圆的圆心)

三角形三边中垂线的交点

三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC； (2)外心不一定在三角形内部

(1)OA=OB=OC；

(2)外心不一定在三角形内部

内心 (三角形内切圆的圆心)

内心

(三角形内切圆的圆心)

三角形三条角平分线的交点

三角形三条角平分线的交点

图片

(1)到三角形三边距离相等； (2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.

(1)到三角形三边距离相等；

(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

(3)内心在三角形内部.

六、圆中有关计算

圆的面积公式：公式S=πr²，周长C=2πR.

圆心角为

n

0

、半径为R的弧长：

l

=nπr/180

.

圆心角为

n

0

，半径为

R

，弧长为l的扇形的面积

=nπR²/360=1/2lR.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为πR²l，侧面积为2πRl，全面积为2πRl+2πR².

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为πRl+πR²，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有R²+h²=l².

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的1/360，即1/360•πR²=πR²/360；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式S扇形=1/2lR，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式S=1/2ah有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系

S扇形=nπR²/360=1/2•nπR/180•R=1/2lR息